2024 年第 40 届全国中学生数学奥林匹克决赛（CMO）试题

2024 年 CMO 试题一如既往地具有挑战性，从代数、几何到数论等多个数学领域对学生进行全面考查。和北京中考信息网一起看看吧。

　　(一)第一天试题

　　第一题

　　涉及无理数、数列相关知识。要求证明数列 {xn} 最终周期以及最终的最小正周期是一个与 x1 无关的奇数。这需要学生对数列的递推关系有深刻理解，并能运用逻辑推理进行周期的论证。

　　第二题

　　是一道几何题，以三角形 ABC 为背景，涉及内心、中点等几何元素。通过给定的线段和圆的关系，证明三条线 PQ、LN、EF 三线交于一点。这道题考验学生对几何图形性质和圆幂定理等相关定理的运用能力。

　　第三题

　　属于数论范畴。给定整数 a1 > a2 >...> an > 1 和函数 f (X)，在对任意 X 的真子集 Y 有 f (Y) < f (X) 的条件下，证明 | X| ≤ f (X) M。这需要学生对数论中的集合概念和函数性质有很好的把握。

　　(二)第二天试题

　　第四题

　　定义了平面上两点间的小数距离，并要求找出最大的实数 r 使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于 r。这涉及到对新定义概念的理解和空间几何关系的分析。

　　第五题

　　是关于素数和函数的题目。给定素数 p 和函数 f，在满足一定条件下，求证存在无穷多个 p 使得 f 存在，也存在无穷多个 p 使得 f 不存在。这需要学生对素数性质和函数的对应关系有深入研究。

　　第六题

　　涉及实数数列。给定 a1,a2,...,an 为实数，以及它们的和、平方和、立方和的条件，要求求最大常数 C 和证明存在常数 C2 > 0 满足特定不等式。这考查了学生对数列性质和不等式证明的能力。

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